senx+cosx - Numerica

Sulla funzione f(x)=sin x + cos x .

 

Perché sparare ad una mosca col cannone?

Una spiegazione deve avere sempre i caratteri della semplicità e della chiarezza.

 

Giorni fa, sfogliando i vari post di un noto Newsgroup, rimasi colpito dalle risposte fornite al seguente quesito:

 

“Spero che mi possiate dare qualche delucidazione su questa funzione:  f(x)=sin x + cos x .

Sto seguendo uno studio guidato di questa funzione ( …), e non riesco a capire come tale funzione possa essere riscritta nella seguente forma: $senx+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Qualcuno potrebbe spiegarmi i passaggi intermedi?“

 

Delle quattro risposte date dai lettori, tre erano poco praticabili, molto elaborate, e tra l’altro alcune ponevano in essere nuove affermazioni poco evidenti. La quarta mi è sembrata  più semplice e accessibile.

 

Prima di continuare, vi invito a leggere le suddette risposte che riporto nell’ordine in cui sono state inviate:

 

1)” Ogni funzione del tipo A*sin(x)+B*cos(x) puo' essere

scritta come C*sin (x+a); sviluppi quest'ultima con la formula di addizione

del seno ed uguagli ad A e B i coefficienti di sin(x) e cos(x) per trovare C ed A.”

 

2)”Puoi convincerti della validità della formula ricordando che sen(x) può essere rappresentato da un vettore di ampiezza unitaria giacente sull'asse x e applicato nell'origine degli assi mentre cos(x) può……giacente sull'asse y e applicato come sopra.

Supponi ora di ruotare i vettori con velocità angolare unitaria. A ogni istante le proiezioni dei vettori sull'asse y forniscono i valori sen(x) e cos(x): per il seno basta che ricordi la definizione; per il coseno basta ricordare che si tratta di un seno anticipato di Pi/2. Il vantaggio della costruzione consiste nel fatto che si puo' dimostrare che sen più cos e' rappresentato dal vettore somma dei vettori che rappresentano sen e cos. L'ampiezza del vettore somma (e quindi della sinusoide somma) e' sqrt(1^2+1^2) = sqrt(2) (teor. di Pitagora) e la fase (Pi/2)/2 = Pi/4.

Come vedi, una volta capito il metodo, ti accorgi della validita' della tua formula senza scrivere nulla.“

 

3)“Se non ti piace quanto sopra c'e' una terza alternativa. Basta ricordare che cos(x) = sen(Pi/2-x) e applicare la formula:   senA+senB = 2*sen1/2(A+B)cos1/2(A-B)”

 

4) “(…) se (…) ti hanno convinto che deve valere una identita' del tipo

 sen(x) + cos(x) = A*sen(x+ phi) e si tratta solo di controllare se e' vero che A e phi sono quelli da te riportati, basta assegnare a x due valori qualsiasi per ottenere un sistema di due equazioni che, risolto, ti fornisce la coppia A e phi. Puoi, ad es., porre x = Pi/2 - phi  e  x = - phi

e ottenere il sistema.

    sen(phi) + cos(phi) = A

    sen(phi) - cos(phi) = 0”.

 

La risposta che raggiunge lo scopo con maggiore facilità è la terza. Infatti, utilizzando la nota relazione (angoli associati) $\cos (x)=sen(\frac{\pi }{2}-x)$ si ha:

$senx+\cos x=senx+sen\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ =

(prostaferesi: $senx+seny=2sen\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ )
= $2sen\left(\frac{x+\frac{\pi }{2}-x}{2}\right)\cos \left(\frac{x-\frac{\pi }{2}+x}{2}\right)$ =

 = $2sen\left(\frac{\frac{\pi }{2}}{2}\right)\cos \left(\frac{2x-\frac{\pi }{2}}{2}\right)$ =  $2sen\left(\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ =

= $2\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ = $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

In definitiva: $senx+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Non ero convinto che le risposte date potessero essere le più semplici. Infatti, condizionato un po’ dalle mie esperienze quotidiane, mi chiedevo: ma come si fa a dare simili spiegazioni ad uno studente che incontra difficoltà? Ho quindi cercato una soluzione differente utilizzando le  normali risorse dello studente medio ed ho trovato la seguente semplice dimostrazione che utilizza sola la ben nota formula di sottrazione del coseno:

$$    $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(x\right)\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+sen\left(x\right)sen\left(\frac{\pi }{4}\right)=$

$$          = $\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \left(x\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}sen\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(senx+\cos \right)\Rightarrow$$sen+\cos x=\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Mi chiedo allora, perché per spiegare una semplice relazione si deve far ricorso a simili elucubrazioni? Cioè, perché sparare ad una mosca col cannone? Mi rendo perfettamente conto che l’uso abituale di certi strumenti porta poi, quasi inevitabilmente, a risolvere le questioni in un determinato modo, ma non bisogna mai dimenticare che una spiegazione deve avere sempre i caratteri della semplicità e della chiarezza.