ANGOLI ASSOCIATI

 

Gli angoli (o archi) delle seguenti coppie vengono detti associati:

o   complementari  (α ,  90° - α )
(archi la cui somma sia 90° (o  $\pi /2$ )

o   supplementari   (α , 180° - α )
(archi la cui somma sia 180° (o $\pi$ ))

o   esplementari  (α ,  360° - α )  
(archi la cui somma sia 360° (o $2\pi$ ))

o   opposti  (α ,  - α)

o   che differiscono di  90°   (α ,  90° + α)

o   che differiscono di  180°  (α ,  180° + α) 

o   che differiscono di  270°  (α  ,  270° + α )

o   che differiscono per multipli interi di 360°
(α  ,  k360° +α)  ( con k numero intero qualsiasi)

 

Tra le funzioni goniometriche di queste coppie di angoli intercorrono importanti relazioni che  vengono riassunte nella seguente tabella:

 

ARCHI	RELAZIONI
α e 90 - α	sen(90 - α)     = cos α	cos(90 - α)   = sen α
α e 180 - α	sen(180 - α)   = sen α	cos(180 - α)  = - cos α
α e 360 - α	sen(360 - α)   = -sen α	cos(360 - α)  = cos α
α e 90 + α	sen(90 + α)    = cos α	cos(90 + α)   = - sen α
α e 180 + α	sen(180 + α)  = - sen α	cos(180 + α) = - cos α
α e 270 + α	sen(270 + α)  = - cos α	cos(270 + α) = sen α
α e - α	sen( - α)         = -sen α	cos( - α)        = cos α
α e k 360 + α	sen(k360 +  α) = sen α	cos(k360 +  α) = cos α
α e 90 - α	tang(90 - α)        = cotg α
α e 180 - α	tang (180 - α)     = - tang α
α e 360 - α	tang (360 - α)     = - tang α
α e 90 + α	tang (90 + α)      = - cotg α
α e 180 + α	tang(180 + α)     = tang α
α e 270 + α	tang (270 + α)    = - cotg α
α e - α	tang ( - α)           = - tang α
α e k 360 + α	tang (k360 +  α) = tang α

 

Queste relazioni andrebbero tutte imparate a memoria in quanto necessarie alla risoluzione di moltissimi problemi.

REGOLA PRATICA

Daremo ora una semplice regola pratica che permetterà di ricavare senza fatica le precedenti relazioni.

Osservando l'espressione degli archi associati ad α, si vede che essi hanno tutti una forma del tipo k$\cdot$90° ± α  (infatti per ottenere l'arco opposto basta dare a k il valore 0 e considerare il segno -, per ottenere l'arco che differisce di 90° basta dare a k il valore 1 e considerare il segno + e così via).

 

Quando k è pari la funzione resta inalterata,

cioè il seno dell'arco associato è eguale al seno, il coseno al coseno e la tangente alla tangente).

 

Quando k e' dispari invece la funzione cambia, esattamente prende il prefisso «co» se prima. non lo aveva e lo perde se lo aveva (cioè il seno diventa coseno, il coseno seno e la tangente cotangente).

Resta però ancora da determinare il segno.

Per fare ciò è sufficiente ragionare come se l'angolo α fosse del primo quadrante e quindi pensare al quadrante nel quale si troverebbe l'arco associato in questione.

Se in tale quadrante la funzione è positiva il segno non cambia, in caso contrario cambia e nella relativa formula si deve mettere un segno -.

 

È bene chiarire la precedente regola pratica con alcuni esempi.

Esercizio.1
Supponiamo di voler calcolare il cos(180° + α).

Osserviamo che tale angolo è del tipo 2$\cdot$90° + α, quindi k=2 è pari: ne consegue che la funzione resterà inalterata (cioè ancora coseno).

Veniamo ora al segno.

Se α fosse nel primo quadrante 180° + α sarebbe nel terzo quadrante e quindi il suo coseno avrebbe segno negativo. Dobbiamo perciò mettere un - .

In definitiva:

cos(180° + α)  = - cosα.

 

Esercizio.2
Supponiamo di voler calcolare il sen(270° - α)

Cominciando ad osservare che essendo 270 = 3$\cdot$90,  k è dispari quindi la funzione cambia (il seno diventa perciò coseno).

Veniamo ora al segno.

Se α fosse nel primo quadrante 270 - α sarebbe nel terzo quadrante e quindi con seno negativo: si deve perciò mettere un segno - .

In definitiva:

sen(270-α) = -cosα.

 

Esercizio.3
Supponiamo di voler calcolare il cos(360°-α).

Essendo 360 = 4$\cdot$90 è k pari e quindi la funzione non cambia.

Troviamo il segno.

Se α fosse nel primo quadrante, 360°-α sarebbe nel quarto quadrante e quindi a coseno positivo. Il segno non va perciò cambiato.

In definitiva:

cos (360°-α) = cosα.